신장 트리의 조건
탐욕 알고리즘을 기초로 하고 있음 (당장 눈 앞의 최소 비용을 선택해서, 결과적으로 최적의 솔루션을 찾음)
Union
Find
Union시 두 트리의 높이(rank)가 다르면, 높이가 작은 트리를 높이가 큰 트리에 붙임 (즉, 높이가 큰 트리의 루트 노드가 합친 집합의 루트 노드가 되게 함)
높이가 h - 1 인 두 개의 트리를 합칠 때는 한 쪽의 트리 높이를 1 증가시켜주고, 다른 쪽의 트리를 해당 트리에 붙여줌
초기화시, 모든 원소는 높이(rank) 가 0 인 개별 집합인 상태에서, 하나씩 원소를 합칠 때, union-by-rank 기법을 사용한다면,
N | $ log^*{N} $ |
---|---|
1 | 0 |
2 | 1 |
4 | 2 |
16 | 3 |
65536 | 4 |
$ 2^{65536} $ | 5 |
mygraph = {
'vertices': ['A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'],
'edges': [
(7, 'A', 'B'),
(5, 'A', 'D'),
(7, 'B', 'A'),
(8, 'B', 'C'),
(9, 'B', 'D'),
(7, 'B', 'E'),
(8, 'C', 'B'),
(5, 'C', 'E'),
(5, 'D', 'A'),
(9, 'D', 'B'),
(7, 'D', 'E'),
(6, 'D', 'F'),
(7, 'E', 'B'),
(5, 'E', 'C'),
(7, 'E', 'D'),
(8, 'E', 'F'),
(9, 'E', 'G'),
(6, 'F', 'D'),
(8, 'F', 'E'),
(11, 'F', 'G'),
(9, 'G', 'E'),
(11, 'G', 'F')
]
}
parent = dict()
rank = dict()
def find(node):
# path compression 기법
if parent[node] != node:
parent[node] = find(parent[node])
return parent[node]
def union(node_v, node_u):
root1 = find(node_v)
root2 = find(node_u)
# union-by-rank 기법
if rank[root1] > rank[root2]:
parent[root2] = root1
else:
parent[root1] = root2
if rank[root1] == rank[root2]:
rank[root2] += 1
def make_set(node):
parent[node] = node
rank[node] = 0
def kruskal(graph):
mst = list()
# 1. 초기화
for node in graph['vertices']:
make_set(node)
# 2. 간선 weight 기반 sorting
edges = graph['edges']
edges.sort()
# 3. 간선 연결 (사이클 없는)
for edge in edges:
weight, node_v, node_u = edge
if find(node_v) != find(node_u):
union(node_v, node_u)
mst.append(edge)
return mst
kruskal(mygraph)